1 引言

本文提出一个界别中学数学和大学数学的准则。中学生希望借助这个准则，中学老师可以帮助中学生对大学数学有个初步的认识，帮助中学生在报考大学的时侯对所选的学科有更精准的选择，帮助中学生到了大学尽快完成从中学到大学的过渡。也希望帮助本科一年级的导师，指导大学生的选科和未来生涯规划，帮助在读大学生更多地了解他们正在学的数学。我们提出的简单准则是：大学数学注重结构性及其实际应用，计算性则是结构性的体现和应用。文中将会解释什么是结构，并让读者透过例子学习使用这个准则。

我们开始写这篇文章的时候，只有几句话，大家都觉得是很显然的，但是当拿起笔来写时，我们才知道，这比平常写数学论文难。大家心里都知道要讲的东西，怎样把它说清楚却是不容易。因此我们希望得到读者的支持，不要因为我们说不清楚，使你们看不明白而放弃读完全文。若你是在校的本科生，希望你会领会本文所提出的一个架构，会用这个架构分析和解决你对数学的一些疑感，鼓励你学习数学。我们明白，对一些中学老师来说，这并不是一篇容易懂的文章。原因可能是，在十年甚至几十年的教学和行政工作压力下，大家或许已经忘掉一部分在大学时念的数学了。不过我们相信，只要老师拿出他们原有的对数学的热情，跟学生谈本文的论题，大家都会进步和收获的！

2 数学的计算性

让我们考虑数学的两个特征，一是数学的计算性，二是数学的结构性。首先我们用个例子作个简单的说明。考虑问题；求满足方程组。我们可以把这个方程组写成矩阵方程利用数学提供的方法我们算出答案：。我们称这样的一个过程为数学的计算性。这个过程是：从一个问题——解方程组

开始，找出解题的方法，然后算出答案。

 

另一方面考虑方程组，，。这个方程组可以写成矩阵方程

这个方程组的解组成一个2维线性空间。这时我们关心的是解的数学结构，这个结构就是一个线性空间。这就是我们讲的数学的结构性——数学的研究对象是数学结构。我们将在下一节对此作详细说明。

让我们继续谈数学的计算性。一个比解线性方程组更简单的例子是：求一个正实数的平方根。比如：。我们可以表达这个过程为；输入一个数字一数学计算一输出一个数字，注意我们在此不是谈计算方法，我们讲的是这个过程，这个数学的性质，数学的计算功能。在此我们并没有讨论怎样算出因为为了说这里的内容，我们需要了解极限的性质和实数的构造。

中学代数里经常见的一个问题是：已给出实数求复数使得这个式子成立。也可以说成因式分解：已知实数求复数使得。从这个问题可以变出很多题目，中学生不知花了多少时间做这些内容不变的计算习题！

微积分课的一个标准计算题是：给出几个简单的不定积分，如

然后要求同学用几个标准的方法去计算不定积分。

说到这里希望大家已经明白我们所指数学的计算性是什么了！做了大量习题的中学生，对我们说的数学的计算性虽然可能没有明确过，但心里还是清楚的。学到了大学一年级的微积分和线性代数，同学还是喜欢这些计算题的，因为这是他们熟识的数学。这样当数学课程一步一步的转向数学的另一个性质“数学的结构性”的时侯，学生会惊叫：这不是数学！到学期末的时候，这个感叹常转为这样的问题：会不会考证明？到这个时候，甚至怀疑是否选错了专业！当学生说：老师教的都不是数学，他们的意思是说：都不是他们心里想象的数学；或者更准确一点：老师要他们学的不是他们在中学学的数学！因为这个心理障碍是使他们产生学习困难，甚至心底反抗学习数学。对一个数学专业的学生来说这是不利的，对一个数学系来说这是有破坏性的。因此，这就值得我们思考：我们怎样帮助熟悉中学数学的学生，顺利过渡到结构性内容高速增长的大学数学生态？

3 什么是一个数学结构

3.1 最简单的数学结构是“整数”和“整数的加法运算”。《九章算术》（东汉中期，不迟于公元100年）的“方程”章，在世界上首次阐述了负数及正负数的四则运算，现在整数运算是很多儿童，从幼儿园到小学用了三至五年学来的东西。你可能忘记了怎样学习1和2，去看看一个小孩，在不会写文字之前，他可能已经掌握1和2（两）这两个声音的数值意义。上学后，他要跃进一步，要学会；最后他学会的是怎样做老师给他的关于整数的题目，又因为这些题目和日常生活有关，他也学会了怎样使用整数，但是几乎可以肯定他不会把整数“和”看为是一个数学结构，让我们用代数学的语言来说明整数的数学结构.设记新有整数组成的集合，映射是整数的加法运算。则是交换群。从这句话的表达方式来看，我们同意这不是中学数学，因为在这句话背后是一个学期的集合论。数学是累积性很强的学问，像群这么简单的结构，开始时像一粒沙，很小，慢慢地累积起来成为一个庞大的组织，如果你有机会学习有限单群的分类便明白这个现象。群论首先是由欧洲数学家拉格朗日（Lagrange，1736-1813）、阿贝尔（Abel，1802-1829）、伽罗瓦（Galois，1811-1832）在十九世纪发展起来的。我们暂时放下这个最简单的例子。

3.2 在整数之后，实数便出现在同学学习“数”的艰苦历程里。也许大家不会把实数域看作一个数学结构，在大学一年级微积分课总得说清楚这些实数是怎样来的，很多课本用戴得金（Dedekind，1831-1916）分割法（例如，复旦大学《数学分析》，上海科技出版社，1960，上册第一章附录）。对很多学生而言，这是个相当费解的结构。另外一个方法是从有理数列的极限开始，讲基本序列，循环小数，然后“不经意地”定义实数域为有理数域的完备化。请看一本优秀全创新的微积分教科书：王昆扬，《简明数学分析》，高等教育出版社，2001年（王教授在北京师范大学一年级和北京及青岛的中学用此书上课）。这样，不单是把学生从初中二年级就已经知道的“无限不循环小数是无理数”这个概念说清楚，并且以后遇到距离空间的完备化，就不会觉得陌生，这个做法正是鼎鼎大名的Bourbaki数学系统定义实数的方法（见Bourbaki，Topologie General，Chap IV）。完备化是连续性的一个基本结构。例如同一方法便从有理数域造出进数域——这是二十世纪的数学了。（进数由Hensel（1861-1941）引入；最著名的应用便是在Wiles的费马大定理的证明中。）这样王昆扬书中的方法是承先（初中的循环小数）启后（完备化）！

3.3 到了中学解方程遇到，复数便出现在我们的世界里。我们一开始的例子是二次方程的求根公式

对三次多项式，取, , ，则三次方程的根的Cardano公式是，，。四次方程的根亦有类似公式。可能有同学问：可否给出次数的方程的根的公式？

我们先下个定义。设是复数系数的多项式。称方程为可解，若方程的根可以由其系数通过加减乘除及开方（即）得出。上面的二次公式和Cardano公式是这样的例子。

用代数学里的域扩张的伽罗瓦理论可以证明：一般的次数的方程都不可解。

这个例子说明，要回答一个学生很自然提出的问题，我们需要建立一个相当深刻的数学结构，我们称上面这个结构为伽罗瓦理论。

对打算当中学老师的同学，我们建议他们学习伽罗瓦理论。这样当学生问这个问题的时候，你可以给出一个正确的答案，当你描述这种证明这种结构的时候，虽然你的学生不会明白，但是你的信心令他们记得这件事，让他们想到大学里去学习了解。因此，未来要当中学老师的同学说：中学的数学我在中学时已经会做，大学的数学我学来没用。我们不同意这种说法。

3.4 让我们回到大家比较熟悉的情形。考虑线性方程组，其中是矩阵，是实数，未知变量是矩阵。我们以记所有满足的矩阵所组成的集合。我们要问集合有什么性质？这是不同于前一节的计算问题：给出，求？在此我们是问：不论是什么，有什么共同的性质？这是个结构性的问题，是我们在中学没有问过的问题。这也是一个很好的例子，说明中学数学和大学数学的本质区别——那就是在大学数学里，我们关心的是发现及创造数学结构。在线性代数课里我们学的是：是一个线性空间。线性空间就是我们要找的数学结构。为什么这是重要的？因为这种线性结构具有不寻常的一般性。不仅在解线性方程组时如此，而且在解微分方程和积分方程时也如此。我们知道几乎所有现在的科技如筑桥、发电、飞机、火箭、探月、北斗系统等等都离不开这三类方程。这就是为什么我们要在大专院校教线性代数，教学生学会识辨线性结构“法力”的原因。当同学明白这个道理的时候也许就不会觉得所学无用了。

3.5 回头看看积分的计算：

左边的积分等于反三角函数。为什么老师不告诉我们右边的积分等于什么呢？为了回答这个问题，首先把这两个积分改写为

其中，是指；，是指，是我们要求的函数。显然两个积分是同一个样子，不同的是和。我们要用到中学里没有的大学数学：复变函数论的黎曼曲面理论。是紧单连通双叶黎曼面，因此同构于黎曼球（三维空间的单位球面），而的拓扑亏格是0。

另一方面，是同构于车轮胎，的拓扑亏格是1。显然不可以把球面连续变形为车轮胎的。事实上是定义在车轮胎上的函数，是个双周期函数。而是一个单周期函数。因此不定积分（2）是不可能写为初等函数。请留意，我们不是说：还未有人写出来，而是我们从数学结构知道这是不可能的。这说明我们不能在中学数学课里讲不定积分（2）的原因，是因为这两个不定积分背后的拓扑性质不同，这个拓扑性质是一种数学结构的性质。我们看到，虽然只是简单的不定积分的计算，我们也避不开数学的结构性！更重要的是在这个过程中我们发现了新的东西，拓扑学，就是两个物体之间的新的性质——拓扑同胚，而且这个性质是可以量化的，用物体的亏格。球面的亏格车轮胎的亏格，告诉我们球面和车轮胎不同胚，就是说不可以把球面连续形变为车轮胎。这是牛顿（1643-1727）之后一百年，黎曼（1826-1866）的伟大发现。这叫做创新！亦有人会说这只是一个数学玩意，没有用的。作为回应，请看看杨振宁先生在拿诺贝尔奖以前的第一篇获奖论文：Spontaneous magnetization of a two dimensional Ising model（1952年发表获Onsager奖）。文中他纯熟地使用双周期函数计算自发磁化。这篇文章的结果可谓前无古人后无来者——文章第一次给出二维可积系统的闭公式，到目前还没有其他这样的公式。

3.6 现在我们开始讨论最后的例子：平面几何学。欧几里得是古希腊数学家，约于公元前325年-公元前265年生活在亚历山大里亚，现在是埃及的第二大城市。平面几何学是一个严格的数学结构，最早见于欧几里得所编著的《几何原本》，此书的前6卷由徐光启和意大利神父利玛窦合译，于1607年在北京出版；英译本：T.Heath，The Thirteen Books of Euclid's Elements，Cambridgc Univcrsity Press 1908，Dover Reprint。

《几何原本》的数学结构从23条定义开始，接着是5条公理，然后按逻辑演绎出其它定理。例如，从两直线互相垂直的定义10推导出：两直线相交对顶角相等（《几何原本》卷1命题15）。在这个证明里，我们可以看见平面几何学里最简单的计算。

《几何原本》学校用书的英语版本是Hall与Stevens写的A School Geometry，Macmillan Company；在1970年之前的一个世纪里，这本书是英国、加拿大、澳洲、印度及香港的中学标准教科书。书的排版方式是：定义→公理→定理；学生直接感受到一种一层一层的架构。这样，学习的重点是这个学问的架构，是这个数学结构，而不是学习那些专业补习老师“制作”出来的难得多的题目，虽然这些难题并不只是计算，它们是围绕着一些名题和解题技巧发展出来的，但已看不见《几何原本》的数学结构了，如这个例子：见下图，在锐角三角形中，，过点，分别作三角形的外接圆的切线，，且满足。直线与，延长线分别交于点，。设与交于点，与交于点。求证：。

从上世纪五十年代开始欧美推行普及教育，他们认为数学结构，是一般人学不会的抽象东西。戴上抽象帽子后数学结构便被打入十八层地狱，永不翻身，从全球的中学教育中消失了！我们也避不开此劫。让我们看看人民教育出版社1989年印的《初级中学课本·几何》第一册。这本书基本是依照《几何原本》的次序，书中有定义有证明，却不是明确地印出定义，证明的字样。即编写时避开明确地说出“定义+公理→定理”这个架构，偶然会这样说：我们写出推理过程。以实物类比来说明概念，如第50页：“我们把这个事实作为公理：平行公理”。这样“公理”这个名词便出现了！虽然64页开始说明命题、定理、证明，但学生很难看清楚平面几何学的数学结构；到65页把公理说成实践中总结出来的真命题并不太符合现行数理逻辑的做法。话虽如此，这还是一本好书，有很多学生接受这种软接触方法。

反观《几何原本》，首先定义和公理，然后证明命题。例如以下命题：给出两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则这两条直线平行（《几何原本》卷I命题27）。它的证明是严格遵守“定义+公理→定理”这个架构的，细看这个证明，你会感觉到平面几何学的数学的结构性，这是不同于前面提到卷l命题15的计算证明的。我们常常要求学生证明一个命题，对一个好的学生来说，他实在不知道从哪里开始，因为我们从来没告诉他这个公理系统，没有说明这个架构，没有说清楚起点是什么，他只能盲目的团团转，最后即使是弄出来，也不知从哪里来的！

可能有人会说：大家都差不多一样，我们只是吹毛求疵，请让我们指出一点以作说明：当你看到欧几里得平面几何学就是这些定义、公理、定理所组成的整体，自然就想问，改变部分公理我们会得到什么样的几何？

俄罗斯人罗巴切夫斯基（1792-1856）引入：过直线外一点可以引最少两条平行线为新公理代替平行公理（公理5）。在新的公理体系中展开的推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧几里得几何一样是完善的、严密的几何学。这样，第一种非欧几里得几何便诞生了！随后德国人黎曼（1826-1866）构造了与罗巴切夫斯基不同的几何。

到了20世纪初，爱因斯坦成为第一个人用这些关于空间的新的数学结构去认识我们的宇宙！举个例子，牛顿力学第一定律：一切物体在没有受到力的作用时，总保持静止状态或匀速直线运动状态。爱因斯坦认为可以把“直线”换为黎曼几何空间的“最短线”（即测地线），也就是说：一切物体沿空间的测地线运动。这样，太阳邻近的空间的测地线是弯曲的，光线沿空间的测地线走，所以我们所看到途经太阳的光线弯折了！这就是相对论中太阳引力场的光线弯折的现象！下图显示物质的引力场使周边的空间弯曲。

下图显示光线在太阳附近的弯折的现象。1919年5月29日，天文学家Eddington利用对日食的观察，证实了爱因斯坦的预测。

希望以上的例子说明了什么是数学结构，也说明了在现象中看到数学结构，不单只是解决数学问题的关键，亦是创新应用的开始。我们亦看到过去两个世纪数学的发展，数学内容的增加很多体现在新的数学结构的构造和应用中。中学数学与大学数学的区别，就是要我们在大学里帮助学生把这两百年的数学追回来！这也是为什么在大学数学课里不断地出现新定义来说明新的结构，说明在中学和大学这两个阶段的数学训练是不同的。为此也许有些中学生会对数学产生误会，甚至以为自已的数学是非常好的。如果他到了一个数学系，一年级做一百条不定积分，二年级解一百个数值不同的系数矩阵的线性方程组，三年级用残数算一百条积分，四年级学英语，忙面试，忙出国，忙找工作，忙找对象，……他会很快乐。如果他到了另一个数学系，上的课是：公理集合论，一般拓扑学，测度论，泛函分析，拓扑群论，代数结构，交换代数，代数拓扑学……，他就不一定能够适应了！在一个很好的数学系的优秀少年班，我们亦会遇上很会做奥数题的小孩子对复杂的数学系统没有兴趣、没有感觉，随着压力增大，精神慢慢的崩溃，最后只好放弃了。

4 教学建议

过去两个世纪不停创建的新结构是数学的核心成就。中学的数学几乎不谈结构，大学的数学里结构不停涌现。前面已多次谈到这对学生的影响，这对大学教学亦产生极大的困扰。能力薄弱一点的院系基本上避开基础数学课，不开拓扑学和代数课，主要是教积分计算和解微分方程，甚至索性只开考研习题班、竞赛解题班。这也无不可，但是这样训练出来的人，不具备需要建立架构来解决问题的思维方法，而对复杂的大型结构只好目瞪口呆了。

三年高中学生做了无数的数学习题，这些题目基本是考数学的计算性，这对于数学这门有严密结构的学问是不够的。因此当一个中学生面对结构性不停增强的大学数学时，若抵不过这个压力便只好放弃。数学系亦因为缺乏学生的支持只好开一些结构内容低一点的课，这样学生又觉得念了四年好像没有学会什么，结果是所有人都不满意。中学老师训练学生解答决定大学入学的高考题、奥数题，学生与数学关系是答题，学生对数学是被动的有问则答而不是主动的求问。在大学的数学课里，学生几乎天天都遇到定义，要去明白定义所介绍的新的结构，学生的良性反应是：这是什么？为什么会这样？如果不是这样会发生什么？……学生要问自已、问同学、问老师、问课本，换句话说，学生要主动出击。否则学生到了课堂只是抄定义，并没有主动参与，从莫明其妙很快变成漠不关心，最后是完全放弃。

本文并不是讨论或批评中学数学的内容和教学方法。我们不是说在中学办个数学结构课，给出课本、大量例题和解答。我们只是说，若中学生完全没有接触过数学结构的东西，他们到了大学便要加倍努力克服心理障碍跳入一个有结构存在的更广阔的世界。我们是说，只要鼓励老师对有兴趣和能力的中学生偶然提点一下，便会让他们将来觉得在大学见到的东西是很自然、很简单的。此外同学们报考的时侯也可以自问合适不合适念这种高结构性的学问。因为即便所谓计算数学、应用数学，它们的理论背景的结构性也还是很强的。数学结构有内在的规律，结构与结构之间有连结性，没有单独存在只有一个例子的结构。因此，也许我们可以更改一点现行的数学教学安排。

我们的孩子是在一个动态世界成长的，当他们看见老师在黑板上写下集合的公理的时候，大叫抽象。也许学生也不知道什么是抽象，可能他们只是觉得黑板上的东西不会动而已。就是说抽象是个主观评价。一些东西，开始的时候，有人替你说清楚，你便觉得是显然了。比如若有人用动漫来说清楚集合论中的罗素悖论，这是中学生也可以明白的趣事，到了大学便不会觉得集合论是无中生有、自找麻烦啦，这样做就需要投资。教育是要投资的，越发达的社会这个投资越高。当然我们相信仍然会有数学奇才，成年前未玩过手机，数学是妈妈拿着一根竹子在地上划沙教的，不过这不可能是现在中国城市的孩子了。

在大学一年级，老师或可以安排一些节目帮助新生认识大学数学，加强同学的适应能力，培养学习高年级数学的兴趣。例如，在解代数线性方程组出现的这个线性结构的现象，早在本科一年级的微积分就出现了，首先取极限是一个线性算子，因此微分和定积分也是线性算子；到了学完微分与定积分关系的微积分基本定理后，便以习题问：基本定理这个等式是否保线性、为什么。

在1958年至1977年，美国的一群大中学老师组织一个学校数学研讨小组（SMSG School Mathematics Study Group），目的是把二十世纪的数学软化后在中学讲授，他们完全失败了。当然我们会学习他们失败的经验，但是我们不会因为他们失败而放弃另觅新途。随着SMSG的失败，西欧和美洲的一般中学数学教育转为“快乐”教育（1989年美国中学数学教学标准NCTM）。很多中学毕业的人不会。不过在美英法的一般中学之外，却是有优秀的中学在提供另类的数学课程，来训练学生成为基础科学家，再加上用优厚条件从全球吸纳有天赋的青年人，未来他们就有足够的尖端人材了。

首先，希望帮助学生开始认识二十世纪数学的老师需要有点学养，要多知道点数学知识、数学历史，要喜欢自已的工作对象——数学，要当学生的数学成长导师。其二，我们需要有介绍现代数学的应用软件。当然应用程式只是一种现代的手法，核心的困难是怎样直接面对数学结构的内容。第三，我们需要一个热心发展数学教育的氛围，各级的教育部/局，中学校长/科主任，大学的数学系主任，不反对老师偶然谈谈二十世纪数学的内容和背景。比如在教学大纲和课标增加一项：课外数学介绍和讨论。缺少以上三点可能是SMSG失败的原因。更基本的区别是，我们不支持他们软化数学的方法，例如，把平面拓扑学说成橡胶皮的变形，结果大家莫明其妙。我们支持讲授欧几里得平面几何公理，就是说，最少让学生学一个完整公理系统的例子。我们没有说在目前的环境下一口气更换中小学数学教育，只是建议在适当的地方打开一个窗口，说个现代数学的故事。我们希望这个窗口慢慢地变成一个门，慢慢地更多的中国人会用更多的现代数学。这样可以发挥我们人多的力量，团结创造更好的工艺科技。作为一个人口大国，我们的中小学数学教育，从课本到补习班是个价值很高的市场，怎样在这个市场规则下，帮助学生学习多一点现代数学，是我们未完全解决的问题。

有同学和青年教师建议我们去分析中学大学教学方法的差异，学生学习方法的差异。我们认为这是对本文主旨的极大误会。教学法和学生指导是教育学的内容。本文的主题是数学！目前人类数学的90%是在过去150年创造的，现代社会的生活、生产、国防背后使用的就是这些新数学。这些数学的骨干是数学结构。中小学教的数学和1500年前欧洲老师教的基本是一样的。而大学的数学老师以惊人的速度、坚强的毅力带学生跃过一千五百年进入21世纪。现在一年高考人数已达一千万，入学人数七百万以上，到排名前一百所的大学念数学的人数少于0.5%，能进入全国只有13所的一流数学系的大学的人数少于0.05%。因此我们只能希望有些老师偶然遇到一个有数学能力的孩子可以告诉他一些数学里的神奇的内容。

5 讨论

为了帮助读者更快掌握本文的要旨，我们缩短正文把部分材料放在本节讨论。

（1）本文只是提出一个观点，而并不是建议全面改革数学教育。我们只希望引起一些老师的关注和帮助一些有能力的同学学习。也许有一天，会有更多人支持数学教学内容是介绍数学结构，而不是多次重复同样的习题，直至看一眼比谁都快写下答案。我们没有提供课本、教案、辅导教材、标准例子、习题解答、典型题型及考研题型、解题的规律、方法和技巧。也没有提供足够的中学数学的具体例子，让中学老师能体会、能抓个入手点。以下我们将会继续讨论这个观点，在此先说明几点，一、现行的中学数数学课程是几乎不谈数学结构，那又怎样找中学数学的具体例子呢？因此我们的建议对那些只是打算依书直灌的老师是没有用的。二、每一个新的数学结构的出现，都是一个创新，一个数学革命。上文的例子：求解五次方程的失败，求三次多项式平方根的积分，平行公理与空间曲率。每一次都轰轰烈烈的改变了数学，甚至改变了世界。这些例子都是很具体的，但在人类的历史里当然不是天天出现。我们同意对一般的中学生中学老师来说是比较难。但是若有老师能说说这些问题和解，就应该已经是个好故事了，证明只是很少数的学生才有机会看到的。三、假如我们定义高中数学教育为疯狂地做千百次同一题目，定义高考为解题斗快比赛，完全禁止学生知道过去两百年在数学里发生了什么事，那样就别怪学生没有创意，不喜欢和不能够做数学了。

（2）软件。我们说的数学的两个性质——计算性，结构性——并不是纸上谈兵。最常见分别实现这两个性质的便是数学软件。虽然这不是本文的主题，但是还是值得介绍。有机会使用这些软件的同学会更容易体会本文的要旨。

• （i）计算类。
  • （a）做数值计算，如数值线性代数，有限元方法，图像处理，三维绘图：MATLAB，Analytica，GNU（免费），SageMath（免费）。
  • （b）做符号计算，计算不定积分，解微分方程，计算极限和级数，Groebner基：Mathematica，Maple（这两种也可以做以上（a）类的计算）。
• （ii）代数结构类。
  • Magma-代数几何，Singular（免费）-多项式计算和奇异点，Gap（免费）-群论，LiE（免费）-李群表示。

当然几乎所有大学一年级的数学习题，像计算不定积分，解线性方程组，这些软件都可以一秒解答。因此只要把计算不定积分的技巧说清楚，就不用要学生做三百题，可把时间花在学习一些现代的内容上。请看王昆扬的创新的微积分教科书：《简明数学分析》。当然软件也不是万能的。例如，Magma应该是处理椭圆曲线最厉害的软件，但是只能算出一部分的椭圆曲线的函数。目前国内近三千所大专院校安装有这些软件的数学系并不多，一般系里亦没有几个完全熟悉这些软件的老师，花时间在软件上不如写论文划算。使用这些软件是需要对数学结构和计算机程序有一定的认识，因此，同学也不是念几个月大学便可以掌握的。

（3）我们没有像Bourbaki学派的集合论（Theorie des Ensembles，Chap I&IV）那样给出数学结构的严格定义，原因之一是在没有确定好严格的逻辑及公理集合论之前，去定义数学结构，容易犯错（即使Bourbaki亦受批评，如A. Mathias，Hilbert，Bourbaki and the scorning of logic）。其二，为了包括范畴理论，Grothendieck建议在集合公理系统ZFC加入宇宙公理（SGA4，i.0，i.11），我们还未完全了解这种公理系统的逻辑结构。其三，文中通过例子建立的直观认识已足够本文讨论的需要。

一般同时讲逻辑及公理集合论的教科书都会在两者之间定义他们要讨论的数学结构。在美国大学的本科生用教科书E. Mendelson，Introduction to mathematical logic，Chapman &Hall，1887-2.12节；和研究生的教科书J. Shoenfield，Mathematical Logic，Addison-Wesley，1967-2.5节，便有严格定义的例子。

（4）再说3.6节关于对顶角和平行线的命题。我们补上证明方便大家明白我们所说的两个性质。

命题 两直线相交对顶角相等。

证明 为直线，两个直角。为直线，两个直角，所以。

公理2 一条有限直线可以连续地延长。

定义23 称在同一平面内的两条直线为“平行”，如果不断延长两直线的任一侧也不在有限地方相交。

命题 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。（《几何原本》卷I命题16）

命题 给出两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则这两条直线平行。（《几何原本》卷I命题27）

证明 设直线与两条直线，相交使得。断言：与平行。

如果与不平行，则按定义23，我们可以假设把，延长后相交于点。这样便有三角形△，于是从假设得。这是与命题16相矛盾。证毕。

（5）在此我们不讨论近两百年欧洲学者对《几何原本》这本书的逻辑结构的修订，请看Hilbert的名著Grundlagen der Geometrie，1899。中译本：《希尔伯特几何基础》，江泽涵，朱鼎勋译，北京大学出版社，2009；英译本：D. Hilbert，The Foundations of Geometry，translated by Leo Unger from 10th edition，The Open Court Publishing Company，1971。也请看：王申怀，“从欧几里得《几何原本》到希尔伯特《几何基础》”，数学通报，2010年，49卷1期；和Hilbert and his Grundlagen der Geometrie，in J.Gray，Words out of nothing，Springer-Verlag，2010。可以从希尔伯特的公理证出《几何原本》I至IV的结果，详情见代数几何学家R. Hartshorne，Geometry：Euclid and Beyond，Springer，1997的第2章。

我们补充五点：

一. 如果我们要执行逻辑的检查我们便需要有一个严密的公理系，这是由希尔伯特给出以代替欧几里得的公理系。这样在希尔伯特几何基础第二章便可以考虑公理的相容性和互相独立性。

二. 要有严密的公理系才可以为机械证明编写程式。机械证明是一个很活跃的科研领域。我们只能够介绍几本书。

• 吴文俊，《数学机械化》，科学出版社，2003。
• Jing-Zhong Zhang，Shang-Ching Chou，Xiaoshan Gao，Machine Proofs in Geometry: World Scientific Publishing Company，1994；
• Ding-Zhu Du，Frank Kwang Hwang，Computing in Euclidcan Gcomctry，World Scicntific Pub Co Inc；1995；
• Francisco Botana，Pedro Quaresma，Automated Deduction in Geometry：ADG 2014，Springcr 2015；
• HOL（Cambridgc University Computer Lab）

三. 希尔伯特加入了射影几何的公理。

四. 希尔伯特的第一组公理原文称为Axiome der Verknüpfung，1905年的英译为Axioms of connection，现在译为Axioms of incidence（见Hartshorne，Geometry，第6节）。这和我们中译为关联公理吻合。正如Hartshorne指出这组公理定义一种关联几何（Incidence Geometry）。这种几何是组合几何学的一部份。教科书有：

• B. de Bruyn，An Introduction to Incidence Geometry，Birkhauscr（2016）；
• J. Ueberberg，Foundations of incidence geometry，Springer，2011

J. Tits把这个关联几何发展为BUILDING理论（因此Tits获得2008年Abel奖）。这个理论正好是把Felix Klein 的Erlangen program反过来（详细讨论见：黎景辉，梁志斌，Buildings and groups I，数学季刊，河南大学，2019）。虽然这些几何和现代计算机各方面都会有密切关系，但在我国数学系罕见关于过去一个半世纪的几何的课程！在教材不多的现状下值得把前面提及的Hartshorne和Gray的两本书译为中文。

五. 过去两次在美国有人用希尔伯特公理系来编写中学几何教科书，但都失败了。基本的原因是这个系统对学生的数理逻辑的知识的要求是远超一般美国中学生的水平。虽然欧几里得的《几何原本》的公理系统并不完备，但是我们认为一些中学生是有能力学这个系统。过去两百年欧美所训练的科学家工程师见证了这一点。

我们再谈具体例子的问题。如果你拿一本《几何原本》你就会看到例子。如果你再拿一本《希尔伯特几何基础》作为比较，例子更多。若是你又再找一本关联几何学给学生说故事，则你的例子便是多姿多彩了。数学是一门实践的科学。学习从未学过的数学亦是一种实践。若你把获得新知识的喜悦传给学生，那就是一堂无比快乐的数学课了。

（6）前面提到的分数加法号并不是个笑话。《九章算术》（东汉中期，不迟于公元100年）的“方田”章是世界上最系统叙述了分数运算的著作，中国是世界上使用一般分数最早的国家。分数运算是一个非常重要的数学结构。在大学里这个结构使是交换环的局部化，在代数几何里这便是层的结构，概形的构造。在范畴学和同伦代数里分数运算这个数学结构，便是范畴的局部化、范畴分数运算、导出范畴的构造；在几何里这便是叠和模空间的构造。有在美国讲课的老师便会体验到，这些对中国学生是很自然的东西，对美国学生好像是从天而降的魔法。不会分数！

（7）为了说明3.5节的积分我们补上一些图片。复变函数论一开始告诉我们用球极平面投影把复平面+无穷远点（）看成球面，即黎曼球：把复平面的点与相连，与球面交点，则定义对应，见下图。

因为我们只是考虑黎曼曲面的拓扑性质，我们把黎曼球看作橡皮球，可以把它连续变形。在复平面上平方根函数是双值函数，关于平方根函数的黎曼曲面的构造可看：

• Churchill，Brown，Complex Variables and Applications，McGraw Hill，8h Edition，2009，Chap 8，99节 Example 2，349页；
• Jones，Singerman，Complex Functions，Cambridge University Press，1987，4.8节，154页。

我们取两份复平面或两个黎曼球便可以把平方根函数变为平常的单值函数。在第一个积分出现的函数是

 

 

这个函数的分歧点是。分支切割是从到（见下图（i））。把分支切割拉开球面变为半球面。同样处理另一个黎曼球。如图（ii），然后按函数的黎曼曲面的构造法，把两个半球面粘起来左边的半圆粘到右边的半圆，左边的半圆粘到右边的半圆。这样得到函数的黎曼曲面又是一个黎曼球！积分（）是微分形式在黎曼球上的积分。

下一步我们来看第2个积分（2）

 

 

这里我们要考虑复变函数的黎曼曲面，即是这个函数的定义域，这个函数在上是单值解析函数。我们求根号下多项式方程的根，

 

 

 

其中.

这时我们要构造函数的黎曼曲面。这个函数的分歧点是。分支切割是从到，从到（见上图（i））。取两个黎曼球把分支切割拉开如图（i）。把这两个球变形一点，像图（ii），然后把左边粘到右边，左边的半圆粘到右边的半圆，左边的半圆粘到右边的半圆。再一次变形使得到图（iii）中的车轮胎，这就是函数的黎曼曲。（）是微分形式在黎曼曲面上的积分。

所以两个积分都是同样的微分形式在曲面上的积分，这个问题的关键是这两个曲面的拓扑是不同的。也许这对一年级的本科生是太难了，我们的目的是引发同学学习更多的数学结构。也许听过这个故事，一个不愿意放弃的学生在学了更多数学后，可能有一天他在图书馆里忽然明白这回事。这样“太难”不是问题的答案，而是学习的开始。

（8）竞赛。我们的教育系统避不开考试。中学生的数学考试包括校内、高考和竞赛，竞赛题是最难的。所以我们看看竞赛题和本文的关系。按题目的性质，把我们的讨论分成两部分。

（i）几何部分。

前面已经说：欧几里得平面几何的难题并不只是计算，它们是绕着一些名题和解题技巧设计出来的。难度是在一个题里有好几个定理，而且这些定理是一层一层地叠起来。解题的时候要找到这些定理叠起来的规则和关键的实体。比如：要证明两个线段和相等，可能关键是证明题中的图有两个全等三角形和；又或者图中有个平行四边形。这可以是个很复杂的辩证过程，不过一方面《几何原本》的数学结构只是背景，不影响题目的解决，另一方面亦没有增加新的数学结构的认识。

（i）代数部分。

这一部分的题常用大学课里的一些不需要复杂说明的材料，特别是数论、代数、组合论和微积分里的数列算法。解题的人要有很好的分析能力，把已给的材料按分类情况找出关系，经过辩证而重新组合。当然若有大学课程里适当的数学结构的知识，会提高识辨力加快题目的解决，但这不是必要的。如训练学生做大量这样的题目，是会培养学生习惯于寻求一组数据、一组方程、一组现象的结构。但不一定教会学生创造数学结构及学习复杂系统的耐力和能力。比如，做了大量整数的计算，不一定会发现自已其实是计算环的可逆元子群的基（为整数环）。

我们的观察认为，在中学的数学训练比较注重数学计算以及比较少追求结构性的发现。

（9）同学问：怎样思考数学？老师问：怎样教学生思考数学？思，计虑也。《礼记曲礼》俨若思。考，核实也。《书舜典》三载考绩。古语可能没有思考此词，不见《词源》。按《词海》思考是指分析、综合、推理、判断等非感官知觉的认识。

教学生如何思考是教育学的基本课题，我们不在这里讨论。让我们问个简单点的问题：怎样思考数学题？在前一段谈竞赛题的时侯我们说了一点，按照本文的说法，如果是个计算题，如算初等函数积分，那有标准方案。但是，找出阶不大于20的群的同构类，这便是个结构性问题，怎样去思考这个数学题？一个已知答案的题目基本上可以从所问还原出解，一个未知答案的题目就不简单了。比如，怎样思考黎曼猜想？

念过爱因斯坦自已谈相对论，如Einstein，Relativity: The special and general theory，Dover reprint 2010，就会知道他常用的一种思考方法：思维实验（Gedanken experiment）。这是一种在我们思维中进行的实验，用作检验一些原则，说明一些现象和结构；学理论物理的人都知道这方法，这是值得向学生介绍的。事实上学习数学就是一个不断深耕的思维实验。参考Wikipedia: Einstein's thought experiments和文集J. Robert，F. Melanie，M. Letitia（eds. ）. Thought Experiments in Philosophy，Science and the Arts. Routledge，London 2016，ISBN- 10：0415885442。

让我们换个问题：怎样思考线性代数？在这里思考或可以解释为认识。一般人，若是不学线性代数，很难想出线性结构。一个听完线性空间定义的人怎样思考线性结构？实际上我们不去问这样不是数学的问题。我们是透过习题来增加我们的认识，是透过实践来检验，在这个过程中我们思考线性结构的意义。从线性空间进展为淡中范畴，是一个实验过程，是多位数学工作者在对代数几何和表示论的线性现象的研究和观察才得出来的结构。是经过多人修订错误才慢慢地形成现在的结构。我们现在所知的线性结构，是得来不易的。在这里我们看到一个过程：学而后知，知才思新。

常听说我国中学生缺少创新思考，然而过去一百年有几个爱因斯坦、海森堡、格罗滕迪克、哥德尔（Godel）？百分之九十的创新只不过是闻一求异。如果我们从来不向我们的学生披露一点数学结构，又怎能叫他们创新呢？

6 结语

在中学减少重复做同样的题目和做太难的题目，在释放出来的部分时间，利用年轻人好新奇的心理，向学生介绍一些比较新的数学内容和结构。用这些新的教材，在每次高考题中编一两题。在中学，电脑课教过去五年的事，为什么数学课只讲五百年前的事呢？我们不是建议全面改变现行的中小学数学课程，我们只是说，给现代数学一点空间。

在大学一年级的微积分和线性代数课，减少那些机器可做的习题，引导学生开始结构性的思考，以适应未来的学习。把释放出来的部分时间，为学生讲一些过去一百年的数学历史，介绍一些比较形式的系统，如拓扑空间，数理逻辑，集合论初步。

我们可以从工程计算看十九世纪的数学成就。现在随着电子计算机和信息科技的快速发展，各方面数学的应用日趋结构化，如此看来二十世纪的数学好像是从十九世纪过渡到二十一世纪，从计算性过渡到结构性。难道我们不应该为孩子作些准备，而让他们错过这个新机会吗？（续完）

致谢：感谢在我们的单位和我们访问过的单位的本科生、研究生和老师给我们的批评和建议。感谢李克正和张英伯老师的鼓励、指导和支持。